二叉树

树（Tree）的基本概念

节点、根节点、父节点、子节点、兄弟节点
一棵树可以没有任何节点，称为空树。一棵树可以只有 1 个节点，也就是只有根节点
子树、左子树、右子树
节点的度（degree）：子树的个数
树的度：所有节点度中的最大值
叶子节点（leaf）：度为 0 的节点
非叶子节点：度不为 0 的节点
层数（level）：根节点在第 1 层，根节点的子节点在第 2 层，以此类推（有些教程也从第 0 层开始计算）
节点的深度（depth）：从根节点到当前节点的唯一路径上的节点总数
节点的高度（height）：从当前节点到最远叶子节点的路径上的节点总数
树的深度：所有节点深度中的最大值
树的高度：所有节点高度中的最大值
树的深度等于树的高度
有序树：树中任意节点的子节点之间有顺序关系
无序树：树中任意节点的子节点之间没有顺序关系，也称为“自由树”
森林：由 m（m ≥ 0）棵互不相交的树组成的集合

二叉树（Binary Tree）

特点：

每个节点的度最大为 2（最多拥有 2 棵子树）
左子树和右子树是有顺序的
即使某节点只有一棵子树，也要区分左右子树

性质：

非空二叉树的第 i 层，最多有 2^(i - 1) 个节点（i ≥ 1 ）
在高度为 h 的二叉树，最多有 (2^h) - 1 个结点（h ≥ 1 ）
- 根据每一层的节点数相加公式（ 2^0+2^1+...+2^(h-1) = (2^h) -1 ）推算。
对于任何一棵非空二叉树，如果叶子节点个数为 n0，度为 2 的节点个数为 n2，则有: n0 = n2 + 1
- 假设度为 1 的节点个数为 n1，那么二叉树的节点总数 n = n0 + n1 + n2
- 二叉树的边数 T =0+ n1 + 2 * n2 = n-1
- 0+ n1 + 2 * n2 = n0 + n1 + n2 -1，得出 n0 = n2 + 1

真二叉树（Proper Binary Tree）

特点：

所有节点的度都要么为 0，要么为 2

满二叉树（Full Binary Tree）

特点：

最后一层节点的度都为 0，其他节点的度都为 2
在同样高度的二叉树中，满二叉树的叶子节点数量最多、总节点数量最多
满二叉树一定是真二叉树，真二叉树不一定是满二叉树

性质：

假设满二叉树的高度为 h（h ≥ 1 ），
- 那么第 i 层的节点数量： 2^(i - 1) ，
- 叶子节点数量： 2^(h - 1 )，
- 总节点数量 n ：(2^h) -1 = 2^0+2^1+...+2^(h-1)
- 树高h：h = log2(n + 1)

完全二叉树（Complete Binary Tree）

特点：

叶子节点只会出现最后 2 层，最后 1 层的叶子结点都靠左对齐
完全二叉树从根结点至倒数第 2 层是一棵满二叉树
对节点从上至下、左至右开始编号，其所有编号都能与相同高度的满二叉树中的编号对应
满二叉树一定是完全二叉树，完全二叉树不一定是满二叉树

性质：

度为 1 的节点只有左子树
度为 1 的节点要么是 1 个，要么是 0 个
同样节点数量的二叉树，完全二叉树的高度最小
假设完全二叉树的高度为 h（h ≥ 1 ），那么
- 至少有 2^(h - 1) 个节点（2^0 + 2^1 + 2^2 + ⋯ + 2^(h-2) + 1 ）
- 最多有 2^h - 1 个节点（2^0 + 2^1 + 2^2 + ⋯ + 2^(h-1)，满二叉树）
- 总节点数量为 n
  - 2^(h - 1) ≤ n < 2^h
  - h - 1 ≤ log2n < h
  - h = floor( log2n ) + 1 (floor 是向下取整 )
一棵有 n 个节点的完全二叉树（n > 0），从上到下、从左到右对节点从 1 开始进行编号，对任意第 i 个节点
- 如果 i = 1 ，它是根节点
- 如果 i > 1 ，它的父节点编号为 floor( i / 2 )
- 如果 2i ≤ n ，它的左子节点编号为 2i
- 如果 2i > n ，它无左子节点
- 如果 2i + 1 ≤ n ，它的右子节点编号为 2i + 1
- 如果 2i + 1 > n ，它无右子节点

国外教材的说法

面试题

如果一棵完全二叉树有 768 个节点，求叶子节点的个数
- 假设叶子节点个数为 n0，度为 1 的节点个数为 n1，度为 2 的节点个数为 n2
- 总结点个数 n = n0 + n1 + n2，而且 n0 = n2 + 1 ，得出n = 2n0 + n1 – 1
- 完全二叉树的 n1 要么为 0，要么为 1
  - n1为1时， n = 2n0， n 必然是偶数，叶子节点个数 n0 = n / 2，非叶子节点个数 n1 + n2 = n / 2
  - n1为0时， n = 2n0 – 1， n 必然是奇数，叶子节点个数 n0 = (n + 1) / 2，非叶子节点个数 n1 + n2 = (n – 1) / 2
- 叶子节点个数 n0 = floor( (n + 1) / 2 ) = ceiling( n / 2 )
- 非叶子节点个数 n1 + n2 = floor( n / 2 ) = ceiling( (n – 1) / 2 )
- 因此叶子节点个数为 384

二叉树的接口设计

int size() // 元素的数量
boolean isEmpty() // 是否为空
void clear() // 清空所有元素
void preOrder(Visitor<E> visitor) // 前序遍历
void inOrder(Visitor<E> visitor) // 中序遍历
void postOrder(Visitor<E> visitor) // 后序遍历
void levelOrder(Visitor<E> visitor) // 层级遍历
int height()//获取二叉树的高度。
boolean isComplete() //判断是否为完全二叉树
Node<E> predecessor(Node<E> node) //获取前驱节点（中序遍历的前一个节点）
Node<E> successor(Node<E> node)//获取后继节点（中序遍历的后一个节点）
boolean contains(E element) // 是否包含某元素

// 遍历树时，需要传递的访问类
public static abstract class Visitor<E> {
    boolean stop;

    /**
     * @return 如果返回true，就代表停止遍历
     */
    abstract boolean visit(E element);
}
 // 节点类
protected static class Node<E> {
    E element;
    Node<E> left;
    Node<E> right;
    Node<E> parent;

    public Node(E element, Node<E> parent) {
        this.element = element;
        this.parent = parent;
    }

    // 是否是叶子节点
    public boolean isLeaf() {
        return left == null && right == null;
    }

    // 是否是两个子节点
    public boolean hasTwoChildren() {
        return left != null && right != null;
    }
}